Bài 1 trang 23 toán 12

     

Hướng dẫn giải bài §3. Giá trị lớn nhất và giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 23 toán 12


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ khẳng định trên tập $D$.

– Số $M$ là giá bán trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ bên trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext sao cho f(x_0) = M hfill cr ight.)

Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)

– Số $m$ là giá trị bé dại nhất (GTNN) của hàm số $f$ trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext sao cho f(x_0) = m hfill cr ight.)

Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)

2. Phương pháp tính GTLN cùng GTNN của hàm số bên trên một đoạn

Định lí:

Mọi hàm số liên tiếp trên một đoạn đều phải có GTLN và GTNN bên trên đoạn đó.


Quy tắc kiếm tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn

– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) cơ mà tại đó f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) ko xác định.

– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .

– lúc đó: (undersetmax f(x)=max left f(a); f(b); f(x_i) ight \);

(undersetmin f(x)=min left f(a); f(b); f(x_i) ight ;)

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) khẳng định trên tập thích hợp D, ta rất có thể khảo gần kề sự biến đổi thiên của hàm số trên D, rồi địa thế căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN cùng GTNN của hàm số.

Dưới đây là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 20 sgk Giải tích 12

Xét tính đồng biến, nghịch thay đổi và tính giá trị khủng nhất, giá bán trị bé dại nhất của hàm số:


a) $y = x^2$ trên đoạn $<-3; 0>$;

b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) bên trên đoạn $<3; 5>$.

Trả lời:

a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ bên trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch đổi mới trên đoạn $<-3,0>$.

Khi kia trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt giá chỉ trị lớn nhất tại $x = -3$ và giá trị lớn nhất bằng $9$, hàm số đạt giá chỉ trị nhỏ nhất tại $x = 0$ cùng giá trị nhỏ dại nhất $= 0$.

b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)

Khi kia trên đoạn $<-3,5>$: hàm số đạt giá chỉ trị lớn số 1 tại $x = 3$ cùng giá trị lớn nhất bằng $2$, hàm số đạt giá chỉ trị nhỏ nhất trên $x = 5$ cùng giá trị nhỏ tuổi nhất $= 1.5$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 21 sgk Giải tích 12

*

Trả lời:

Hàm số:

(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 23 sgk Giải tích 12




*

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho rằng $ -1$ trên $x = 0$.Dưới đây là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

tandk.com.vn ra mắt với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của bài xích §3. Giá chỉ trị lớn nhất và giá bán trị nhỏ nhất của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ gia dụng thị hàm số cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị phệ nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên những đoạn (<-4; 4>) và (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên những đoạn (<0;3>) cùng (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên các đoạn (<2;4>) cùng (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập khẳng định (D=mathbbR).

– Hàm số tiếp tục trên những đoạn <-4;4> cùng <0;5> nên tất cả GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ bên trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Xem thêm:
Tổng Hợp Đồ Dùng Dạy Học Lớp 5 Mới Nhất Năm 2022, Cách Làm Đồ Dùng Dạy Học Lớp 5

Vậy:

– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– giá bán trị bé dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá chỉ trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập xác định $D=R$

– Hàm số liên tiếp trên những đoạn (<0;3>) với (<2;5>) nên bao gồm GTLN cùng GTNN trên các đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ bên trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– giá trị nhỏ dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ bên trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– giá trị lớn số 1 của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– giá trị nhỏ dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số bao gồm tập khẳng định D = R 1 và liên tục trên những đoạn <2;4> và <-3;-2> thuộc D, vì thế hàm số tất cả GTLN, GTNN trên từng đoạn này.

Ta tất cả :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) cùng (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ bên trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– giá bán trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số bao gồm tập xác minh ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên khẳng định và tiếp tục trên đoạn <-1;1>, vì thế có GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài xích 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số những hình chữ nhật cùng tất cả chu vi 16 cm, hãy search hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

♦ cách 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ đồ vật tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

Khi kia chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích s của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng chừng $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng phát triển thành thiên:

*

Từ bảng trở nên thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn số 1 tại x=4 lúc đó maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông có cạnh bằng $4$ là hình có diện tích lớn nhất.

3. Giải bài 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích s $48 m^2$, hãy khẳng định hình chữ nhật có chu vi nhỏ tuổi nhất.

Bài giải:

♦ cách 1: thực hiện bất đẳng thức cô-si:

*

♦ cách 2: Ứng dụng đạo hàm nhằm tìm giá trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm số

Gọi x,y thứu tự là chiều dài với chiều rộng lớn của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) bên trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign và undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ và Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng trở nên thiên ta có: (min p. = 16sqrt 3) lúc (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông vắn có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình bao gồm chu vi nhỏ dại nhất theo yêu cầu bài bác toán.

4. Giải bài 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị mập nhất của các hàm số sau:

a) (y=frac41+x^2).

Xem thêm: Bút Bi Có Công Dụng Ngoài Lề Của Cây Bút Bi, Công Dụng Của Chiếc Bút Bi Quen Thuộc

b) (y=4x^3-3x^4).

Bài giải:

a) (y=frac41+x^2.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)

(undersetx o pm infty mathoplim ,frac41+x^2=0.)

Ta gồm bảng biến chuyển thiên:

*

Từ bảng thay đổi thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)

b) (y=4x^3-3x^4.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ và x=1 \ endalign ight..)

(undersetx o pm infty mathoplim ,y=undersetx o pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)

Ta bao gồm bảng đổi thay thiên:

*

Theo bảng biến chuyển thiên ta thấy hàm số đạt GTLN trên (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)

5. Giải bài bác 5 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá chỉ trị nhỏ dại nhất của các hàm số sau:

a) (y = left | x ight |);

b) (y = x+frac4x ( x > 0))

Bài giải:

a) (y=left| x ight|.)

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

Tập xác định: (D=R.)

Ta bao gồm bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng thay đổi thiên ta gồm hàm số đạt GTNN tại (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)

b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)

Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalign& x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ & x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)

Bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng biến chuyển thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!