BÀI TẬP VỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ LỚP 10

     

Bài viết hướng dẫn cách thức giải một vài bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, đấy là dạng toán thường gặp mặt trong lịch trình Hình học 10 chương 1.Bạn vẫn xem: bài tập về chứng tỏ đẳng thức vectơ lớp 10

Phương pháp giải toán:Để chứng tỏ một đẳng thức vectơ ta chú ý:1) Sử dụng:+ quy tắc $3$ điểm: $overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC $, $overrightarrow AC – overrightarrow AB = overrightarrow BC $ với đa số $A$, $B$, $C.$+ quy tắc hình bình hành: $overrightarrow AB + overrightarrow AD = overrightarrow AC $ cùng với $ABCD$ là hình bình hành.+ nguyên tắc trung điểm: $overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MI $ cùng với $I$ là trung điểm của $AB.$+ phép tắc trọng tâm: $overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC = vec 0$ với $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$+ các tính chất của những phép toán.2) triển khai các phép đổi khác theo một trong số hướng sau:+ đổi khác vế này thành vế tê của đẳng thức (thông thường xuyên là khởi nguồn từ vế phức tạp thay đổi rút gọn để mang về vế đơn giản và dễ dàng hơn).+ biến đổi đẳng thức cần minh chứng về tương tự với một đẳng thức luôn luôn đúng.+ xuất phát điểm từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức nên chứng minh.

Bài toán 1: mang lại $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Minh chứng rằng:a) $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) $overrightarrow AB – overrightarrow CD = overrightarrow AC – overrightarrow BD .$

Bài toán 2: đến tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$a) chứng tỏ rằng: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 3overrightarrow MG .$b) kiếm tìm tập vừa lòng điểm $M$ làm thế nào cho $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 0.$

a) Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = (overrightarrow MG + overrightarrow GA ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GB ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + vec 0$ $ = 3overrightarrow MG .$b) vì chưng $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec 0.$$3overrightarrow MG = vec 0$ tốt $overrightarrow MG = vec 0$ vì thế $M equiv G.$Suy ra tập đúng theo $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec O$ là $ G .$

Bài toán 3: mang đến tam giác $ABC$ tất cả $D$, $E$, $F$ theo lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng tỏ rằng:a) $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF = vec 0.$b) với đa số điểm $M$ ta có $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$




Bạn đang xem: Bài tập về chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10

*

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ nên $overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AD .$Suy ra $overrightarrow AD = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Tương tự $overrightarrow BE = frac12(overrightarrow BA + overrightarrow BC )$, $overrightarrow CF = frac12(overrightarrow CA + overrightarrow CB ).$Do đó: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow BA + overrightarrow BC + overrightarrow CA + overrightarrow CB )$ $ = frac12left$ $ = frac12(vec 0 + vec 0 + vec 0) = vec 0.$Cách khác: call $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC$, khi ấy ta có:$overrightarrow AD = – frac32overrightarrow GA $, $overrightarrow BE = – frac32overrightarrow GB $, $overrightarrow CF = – frac32overrightarrow GC .$Suy ra: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = – frac32(overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = – frac32.vec 0 = vec 0.b.$b) với tất cả điểm $M$ ta có:$overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MF .$$overrightarrow MB + overrightarrow MC = 2overrightarrow MD .$$overrightarrow MC + overrightarrow MA = 2overrightarrow ME .$Suy ra $2(overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC )$ $ = 2(overrightarrow MF + overrightarrow MD + overrightarrow ME ).$Vậy $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$

Bài toán 4: mang đến tam giác $ABC$ và $G$, $H$, $O$ theo thứ tự là trọng tâm, trực tâm, trọng điểm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi $D$ là vấn đề đối xứng của $A$ qua $O$. Chứng minh rằng:a) $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = 3overrightarrow OG .$


*



Xem thêm: Trình Bày Suy Nghĩ Của Em Về Đức Hi Sinh Hay Nhất (14 Mẫu), Dàn Ý Nghị Luận Về Đức Hi Sinh Trong Cuộc Sống

a) Ta có: $widehat ABD = widehat ACD = 1v$ (góc nội tiếp chắn nữa mặt đường tròn).Suy ra $BD ot AB.$Mặc khác $CH ot AB$ (vì $H$ là trực tâm).Do vậy $BD//CH.$Tương trường đoản cú ta tất cả $CD//BH.$Từ kia suy ra $HBDC$ là hình bình hành.Do kia $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA + (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA + overrightarrow HD = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA – (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA – overrightarrow HD $ $ = overrightarrow DA = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = (overrightarrow OH + overrightarrow HA ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + (overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + 2overrightarrow HO $ $ = 3overrightarrow OH – 2overrightarrow OH = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 3overrightarrow OG .$Bài toán 5: mang lại tứ giác $ABCD.$ điện thoại tư vấn $E$, $F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $CD$, $O$ là trung điểm của $EF.$ chứng tỏ rằng:a) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = overrightarrow 0 .$b) $overrightarrow MA + overrightarrow MB + mathop overrightarrow MC limits^. + overrightarrow MD = 4overrightarrow MO .$

a) Ta gồm $VT = (overrightarrow OA + overrightarrow OB ) + (overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 2overrightarrow OE + 2overrightarrow OF $ $ = 2(overrightarrow OE + overrightarrow OF )$ $ = overrightarrow 0 = VP.$b) Ta có: $VT = (overrightarrow MO + overrightarrow OA ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OB )$ $ + (overrightarrow MO + overrightarrow OC ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + overrightarrow 0 $ $ = 4overrightarrow MO = VP.$

Bài toán 6: cho tam giác $ABC$ với tam giác $A_1B_1C_1.$ hotline $G$, $G_1$ theo thứ tự là trung tâm tam giác $ABC$ cùng tam giác $A_1B_1C_1.$ minh chứng rằng: $overrightarrow AA_1 + overrightarrow BB_1 + overrightarrow CC_1 = 3widehat GG_1.$

Ta bao gồm $VT = left( overrightarrow AG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1A_1 ight)$ $ + left( overrightarrow BG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1B_1 ight)$ $ + left( overrightarrow CG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + (Aoverrightarrow G + overrightarrow BG + overrightarrow CG )$ $ + left( overrightarrow G_1A_1 + overrightarrow G_1B_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 $ $ = 3overrightarrow GG_1 = VP.$

Bài toán 7: mang lại tam giác $ABC.$ gọi $M$ là trung điểm của $AB$ cùng $N$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA.$ điện thoại tư vấn $K$ là trung điểm của $MN.$a) chứng tỏ rằng: $overrightarrow AK = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) hotline $D$ là trung điểm của $BC.$ minh chứng rằng: $overrightarrow KD = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$


*

a) Ta có: $overrightarrow AK = frac12(overrightarrow AM + overrightarrow AN )$ (vì $K$ là trung điểm của $MN$) $ = frac12left( frac12overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC ight)$ $ = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) Ta có: $overrightarrow KD = frac12(overrightarrow KB + overrightarrow KC )$ $ = frac12(overrightarrow KA + overrightarrow AB + overrightarrow KA + overrightarrow AC )$ $ = overrightarrow KA + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – overrightarrow AK + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – frac14overrightarrow AB – frac16overrightarrow AC + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$

Bài toán 8: cho hai điểm $A$ và $B$, $M$ là vấn đề trên mặt đường thẳng $AB$ thế nào cho $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB $. Minh chứng rằng với điểm $O$ bất kì, ta có: $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Ta có $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB .$Suy ra $n(overrightarrow OM – overrightarrow OA ) = m(overrightarrow OB – overrightarrow OM ).$Do kia $(m + n)overrightarrow OM = noverrightarrow OA + moverrightarrow OB .$Như vậy $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$

Bài toán 9: đến tam giác $ABC.$ bên trên cạnh $AB$, $AC$ lấy những điểm $M$, $N$ sao cho $fracMAMB = a$, $fracNANC = b.$ hai tuyến đường thẳng $CM$ và $BN$ giảm nhau tại $I.$ minh chứng rằng $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$




Xem thêm: Khối Lượng Riêng Là Gì? Công Thức Khối Lượng Riêng, Trọng Lượng Riêng Chính Xác

*

Dựng $Ax$ tuy vậy song $BN$ giảm $CM$ trên $E.$Dựng $Ay$ song song $CM$ giảm $BN$ trên $F.$Khi đó ta bao gồm $overrightarrow AI = overrightarrow AE + overrightarrow AF .$Mặc không giống $Delta MAE$ đồng dạng $Delta MBI.$Nên $fracAEIB = fracMAMB = a.$Suy ra $overrightarrow AE = aoverrightarrow IB .$Tương trường đoản cú $Delta NAF$ đồng dạng $Delta NCI$ cần $overrightarrow AF = boverrightarrow CI .$Từ đó suy ra $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$