Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

     

Bài viết phía dẫn phương pháp giải bài toán vận dụng của tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. đến hàm số $y = f(x)$ tiếp tục trên đoạn $.$ diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là: $S = int_a^b left .$2. Học sinh cần xem lại cách khử vết giá trị tuyệt đối trong công thức tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ với trục hoành mang lại bởi cách làm $S = int_alpha ^eta left $, trong những số ấy $alpha $, $eta $ theo thứ tự là nghiệm nhỏ nhất và lớn số 1 của phương trình $f(x) = 0.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: hotline $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_b^a dx .$B. $S = int_a^b f(x)dx .$C. $S = – int_a^b f(x)dx .$D. $S = – int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ đồ dùng thị ta bao gồm $f(x) Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 2: hotline $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây sai?A. $S = int_a^b f(x) ight .$B. $S = – int_b^a f(x)dx .$C. $S = left| int_b^a f(x)dx ight|.$D. $S = int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ thiết bị thị ta gồm $f(x) > 0$, $forall x in $ nên:$S = int_a^b dx $ $ = left| int_a^b f(x)dx ight|$ $ = left| – int_b^a f(x)dx ight|$ $ = left| int_b^a f(x)dx ight|.$Suy ra những đáp án A cùng C đúng.$S = int_a^b f (x)dx$ $ = – int_b^a f (x)dx$, suy ra giải đáp B đúng và câu trả lời D sai.Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 3: gọi $S$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x= a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = left| int_a^b f (x)dx ight|.$B. $S = int_a^c f (x)dx – int_c^d f (x)dx + int_d^b f (x)dx.$C. $S = int_a^c | f(x)|dx – int_c^d | f(x)|dx + int_d^b | f(x)|dx.$D. $S = left| int_a^c f (x)dx ight| – left| int_c^d f (x)dx ight| + left| int_d^b f (x)dx ight|.$

Lời giải:Từ đồ vật thị ta có: $f(x) ge 0$, $forall x in $; $f(x) le 0$, $forall x in $; $f(x) ge 0$, $forall x in .$Suy ra $S = int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx$ $ + int_c^d | f(x)|dx$ $ + int_d^b | f(x)|dx.$$ = int_a^c f (x)dx$ $ – int_c^d f (x)dx$ $ + int_d^b f (x)dx.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 4: Tính diện tích s $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=2.$A. $S = frac416.$B. $S = frac436.$C. $S = frac476.$D. $S = frac536.$

Lời giải:Cách 1:Ta có: $S = int_1^2 x^2 + 3x ight .$Bảng xét dấu:

*

Suy ra $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2$ $ = frac416.$Chọn lời giải A.Cách 2:Xét phương trình $x^2 + 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;2>\x = – 3 otin <1;2>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^2 x^2 + 3x ight $ $ = left| int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight ight|$ $ = frac416.$Cách 3:Vẽ vật thị ta được hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ như hình bên.

*

Do đó: $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2 = frac416.$

Ví dụ 5: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = x^2 – x – 2$ với trục hoành bằng $fracab$, cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Xác minh nào sau đây đúng?A. $a le b.$B. $a = b^2 + 1.$C. $a > b + 10.$D. $a = b + 7.$

Lời giải:Xét phương trình $x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2endarray ight..$Do đó $S = int_ – 1^2 dx $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 – fracx^22 – 2x ight) ight ight| = frac92.$Suy ra $a = 9$, $b = 2$ $ Rightarrow a = b + 7.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 – x$ với trục hoành bằng $fracab$, cùng với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $I = 2a + 5b.$A. $I = 11.$B. $I = 12.$C. $I = 13.$D. $I = 14.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 1endarray ight..$Do kia $S = int_ – 1^1 dx $ $ = left| int_ – 1^0 left( x^3 – x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 – x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 – fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac12.$Suy ra $a = 1$, $b = 2$ $ Rightarrow I = 2a + 5b = 12.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = 2x^2 – x^4$ với trục hoành bằng $fracabsqrt 2 $ với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = a – b.$A. $T=-7.$B. $T=1.$C. $T=4.$D. $T = 2.$

Lời giải:Xét phương trình $2x^2 – x^4 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm sqrt 2 endarray ight..$Do đó $S = int_ – sqrt 2 ^sqrt 2 2x^2 – x^4 ight $ $ = left| int_ – sqrt 2 ^0 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|$ $ + left| int_0^sqrt 2 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2x^33 – fracx^44 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( frac2x^33 – fracx^44 ight) ight ight|$ $ = frac16sqrt 2 15.$Suy ra $a = 16$, $b = 15$ $ Rightarrow T = a – b = 1.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 8: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = e^x – 2$, trục hoành và mặt đường thẳng $x=1$ bằng $a.e + b + c.ln 2$ cùng với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $T = 2a^2018 + b + c^2.$A. $T=0.$B. $T=1.$C. $T=2.$D. $T=3.$

Lời giải:Xét phương trình $e^x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = ln 2.$Do kia $S = int_ln 2^1 dx $ $ = left| int_ln 2^1 left( e^x – 2 ight)dx ight|$ $ = left| _ln 2^1 ight|$ $ = e – 4 + 2ln 2.$Suy ra $a = 1$, $b = – 4$, $c = 2$ $ Rightarrow T = 2a^2018 + b + c^2 = 2.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = sin x + cos x – 2$, trục hoành, trục trung và con đường thẳng $x = fracpi 2$ bằng $a + bpi $ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 2a + 3b.$A. $T=-4.$B. $T=-1.$C. $T=7.$D. $T =8.$

Lời giải:Ta tất cả $y = sin x + cos x – 2 cho nên vì vậy $S = int_0^fracpi 2 | sin x + cos x – 2|dx$ $ = int_0^fracpi 2 (2 – sin x – cos )dx .$$ = left. (2x + cos x – sin x) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi – 2.$Suy ra $a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 2a + 3b = – 1.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 10: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = xe^x – e^x$, trục hoành với trục tung bằng $a + be$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = 5a + b.$A. $T = 11.$B. $T = 7.$C. $T=3.$D. $T=-9.$

Lời giải:Xét phương trình $xe^x – e^x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do kia $S = int_0^1 dx $ $ = left| int_0^1 (x – 1)e^xdx ight|.$Sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow S = left| _0^1 – left. E^x ight ight|$ $ = e – 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 5a + b = – 9.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 11: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = xln x$, trục hoành và con đường thẳng $x=2$ bởi $a + bln 2$ cùng với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac72.$B. $T = frac134.$C. $T = frac194.$D. $T = frac12.$

Lời giải:Xét phương trình $xln x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do kia $S = int_1^2 xln x $ $ = left| int_1^2 xln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = fracx^22endarray ight..$$S = left| left. fracx^22ln x ight ight|$ $ = left| _1^2 – left. fracx^24 ight ight|$ $ = 2ln 2 – frac34.$Suy ra $a = – frac34$, $b = 2$ $ Rightarrow T = 2a + b = frac12.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 12: Cho diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi những đường $x = 1$, $x = e$, $y = 0$, $y = fracln x2sqrt x $ bởi $a + bsqrt e $ với $a$, $b$ là các số nguyên. Điểm $M(a;b)$ là đỉnh của parabol nào sau đây?A. $y = frac12x^2 – x.$B. $y = x^2 – 4x + 3.$C. $y = x^2 + x – 7.$D. $y = – x^2 + 2x – 1.$

Lời giải:Ta có $y = fracln x2sqrt x ge 0$, $forall x in <1;e>.$Do kia $S = int_1^e dx $ $ = int_1^e fracln x2sqrt x dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = frac12sqrt x dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = sqrt x endarray ight..$$S = left. sqrt x ln x ight|_1^e – int_1^e frac1sqrt x dx $ $ = left. sqrt x ln x ight|_1^e – left. 2sqrt x ight|_1^e$ $ = 2 – sqrt e .$Suy ra $a = 2$, $b = – 1$ $ Rightarrow M(2; – 1).$Suy ra $M(2; – 1)$ là đỉnh của parabol $y = x^2 – 4x + 3.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 13: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = x(2 + sin x)$, trục hoành và con đường thẳng $x = fracpi 2$ bởi $a + fracpi ^2b$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a^2 – 2b.$A. $T = 14.$B. $T = – frac3116.$C. $T = – 7.$D. $T = frac78.$

Lời giải:Xét phương trình $x(2 + sin x) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do kia $S = int_0^fracpi 2 $ $ = int_0^fracpi 2 x (2 + sin x)dx$ (vì $x(2 + sin x) ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).Đặt $left{ eginarray*20lu = x\dv = (2 + sin x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = dx\v = 2x – cos xendarray ight..$$S = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – int_0^fracpi 2 (2x – cos x)dx .$$ = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – left. left( x^2 + sin x ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = fracpi ^24 + 1.$Suy ra $a = 1$, $b = 4$ $ Rightarrow T = a^2 – 2b = – 7.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 14: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = 1 – sin x$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = frac7pi 6$ bằng $a + fracsqrt 3 b + fraccdpi $ với $a$, $b$ là các số nguyên, $fraccd$ là phân số tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=16.$B. $T = 10.$C. $T = frac232.$D. $T = 18.$

Lời giải:Ta gồm $y = 1 – sin x ge 0$, $forall x in left< 0;frac7pi 6 ight>.$Do đó $S = int_0^frac7pi 6 | 1 – sin x|dx$ $ = int_0^frac7pi 6 (1 – sin x)dx $ $ = left. (x + cos x) ight|_0^frac7pi 6$ $ = frac7pi 6 – fracsqrt 3 2 – 1.$Suy ra $a = – 1$, $b = – 2$, $c = 7$, $d = 6$ $ Rightarrow T = a + b + c + d = 10.$Chọn câu trả lời B.

Xem thêm: Thiết Bị Vào Dùng Để Làm Gì, Thiết Bị Đầu Vào Của Máy Tính Là Gì

Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = an ^2x$, trục hoành, trục tung và con đường thẳng $x = fracpi 6$ bằng $fracsqrt 3 a + fracpi b$ với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = a^2 – b.$A. $T=3.$B. $T = 33.$C. $T = 39.$D. $T=15.$

Lời giải:Ta gồm $S = int_0^fracpi 6 left $ $ = int_0^fracpi 6 an ^2 xdx$ $ = int_0^fracpi 6 left( frac1cos ^2x – 1 ight)dx $ $ = left. ( an x – x) ight|_0^fracpi 6$ $ = fracsqrt 3 3 – fracpi 6.$Suy ra $a = 3$, $b = – 6$ $ Rightarrow T = a^2 – b = 15.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 16: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = xsqrt 1 + x^2 $, trục hoành và con đường thẳng $x = sqrt 3 $ bởi $fracab$ với $fracab$ là phân số về tối giản. Điểm $M(a;b)$ ở trong miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?A. $x + y > 9.$B. $2x + y C. $x + 2y D. $x + 5y > 25.$

Lời giải:Xét phương trình $xsqrt 1 + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^sqrt 3 dx $ $ = int_0^sqrt 3 x sqrt 1 + x^2 dx.$Đặt $t = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow t^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow xdx = tdt.$Đổi cận:

*

Suy ra $S = int_1^2 t^2 dt$ $ = left. fract^33 ight|_1^2 = frac73$ $ Rightarrow a = 7$, $b = 3$ $ Rightarrow M(7;3).$Ta bao gồm $7 + 3 > 9$ suy ra điểm $M(7;3)$ nằm trong miền nghiệm bất phương trình $x + y > 9.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 17: Tính diện tích s $S$ của hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = x^2 – 2x + m$ $(m ge 1)$, trục hoành và những đường trực tiếp $x = 0$, $x = 2.$A. $S = 2m + frac23.$B. $S = 2m – frac23.$C. $S = 2m – frac43.$D. $S = 2m + frac43.$

Lời giải:Ta bao gồm $y = x^2 – 2x + m$ $ = (x – 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall m ge 1$, $forall x in <0;2>.$Do kia $S = int_0^2 dx $ $ = int_0^2 left( x^2 – 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^2$ $ = 2m – frac43.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 18: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = x^2 – 9$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m$ $(m > 3).$A. $S = fracm^33 – 9m.$B. $S = fracm^33 – 9m + 36.$C. $S = fracm^33 + 9m + 36.$D. $S = fracm^33 – 9m + 18.$

Lời giải:Ta có: $S = int_0^m x^2 – 9 ight .$Bảng xét dấu:

*

Do đó $S = – int_0^3 left( x^2 – 9 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 9 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – 9m + 36.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 19: đến hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi những đường $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = ln 4.$ Đường trực tiếp $x = k$ $(0 A. $k = frac23ln 4.$B. $k = ln 2.$C. $k = ln frac83.$D. $k = ln 3.$

Lời giải:Từ đồ vật thị ta có:$S_1 = int_0^k e^x dx$ $ = left. E^x ight|_0^k$ $ = e^k – 1.$$S_2 = int_k^ln 4 e^x dx$ $ = left. E^x ight|_k^ln 4$ $ = 4 – e^k.$Khi đó $S_1 = 2S_2$ $ Rightarrow e^k – 1 = 8 – 2e^k$ $ Leftrightarrow k = ln 3.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 20: mang đến hàm số $y = x^4 – 3x^2 + m$ bao gồm đồ thị $left( C_m ight)$ cùng với $m$ là tham số thực. đưa sử $left( C_m ight)$ giảm trục $Ox$ tại tứ điểm rành mạch như mẫu vẽ bên. Gọi $S_1$, $S_2$ cùng $S_3$ là diện tích những miền gạch chéo cánh được cho trên hình vẽ.

*

Tìm $m$ nhằm $S_1 + S_2 = S_3.$A. $m = – frac52.$B. $m = – frac54.$C. $m = frac52.$D. $m = frac54.$

Lời giải:Gọi $x = a$, $x = b$ $(a vì vậy $b^4 – 3b^2 + m = 0$ $(1).$Ta bao gồm $S_1 + S_2 = S_3$, kết hợp đồ thị $ Rightarrow frac12S_3 = S_2.$$int_0^a left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx $ $ = – int_a^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx .$$ Leftrightarrow int_0^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx = 0.$$left. Leftrightarrow left( fracx^55 – x^3 + mx ight) ight|_0^b = 0.$$ Leftrightarrow fracb^55 – b^3 + mb = 0$ $ Rightarrow fracb^45 – b^2 + m = 0$ $(2)$ (vì $b>0$).Từ $(1)$ cùng $(2)$, trừ vế theo vế ta được $frac45b^4 – 2b^2 = 0$ $ Rightarrow b^2 = frac52$ (vì $b > 0$).Thay $b^2 = frac52$ vào $(1)$ ta được $m = frac54.$Chọn đáp án D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: mang đến hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $.$ diện tích hình phẳng giới hạn bởi con đường cong $y = f(x)$, trục hoành, những đường trực tiếp $x = a$, $x = b$ là:A. $int_b^a f (x)dx.$B. $int_a^b | f(x)|dx.$C. $int_a^b f (x)dx.$D. $pi int_a^b f^2 (x)dx.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = 4x – x^3$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=4$ bằng:A. $48.$B. $44.$C. $40.$D. $36.$

Câu 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = frac – 3x – 1x – 1$ cùng hai trục tọa độ bởi $4ln fracab + c$ với $a$, $b$ là những số nguyên dương, $fracab$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a + b + c.$A. $T=5.$B. $T=6.$C. $T=7.$D. $T=8.$

Câu 4: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi con đường cong $y = fracln xx^2$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = e$ bởi $a + fracbe$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = log _2(14a – b).$A. $T=1.$B. $T=2.$C. $T=3.$D. $T=4.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = 1 – x^2$, $y = 0$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên dương với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T= 2a+b.$A. $T=10.$B. $T=11.$C. $T=13.$D. $T=15.$

Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = 3x^3 + 2x$, $y = 0$, $x = a$ $(a > 0)$ có diện tích s bằng $frac74$ thì quý giá của $a$ bằng:A. $1.$B. $fracsqrt 7 2.$C. $2.$D. $3.$

Câu 7: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = xe^x$, $y = 0$, $x = – 1$, $x = 2$ bởi $e^2 + fracae + b$ với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = a + 2b.$A. $T=-4.$B. $T=-2.$C. $T=2.$D. $T=4.$

Câu 8: Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$, $y = x^2 – 2x$, $x = – 1$, $x = 2$ có diện tích s được tính theo công thức:A. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$B. $S = – int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$C. $S = int_ – 1^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$D. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx. $

Câu 9: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = x^4 + 3x^2 + 1$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 1$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên và $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = 2a – b.$A. $T = 17.$B. $T=-1.$C. $T=-17.$D. $T=1.$

Câu 10: hình vuông vắn $OABC$ có cạnh bằng $4$ được tạo thành hai phần vày đường cong $(C)$ gồm phương trình $y = frac14x^2.$ hotline $S_1$, $S_2$ là diện tích của phần không trở nên gạch cùng phần bị gạch ốp (như hình vẽ).

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac32.$B. $fracS_1S_2 = frac12.$C. $fracS_1S_2 = 2.$D. $fracS_1S_2 = 1.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánBCBDB
Câu678910
Đáp ánACAAC

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Áp dụng phương pháp tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường cong $y = f(x)$, trục hoành, các đường trực tiếp $x=a$, $x = b$ là: $S = int_a^b | f(x)|dx.$Chọn giải đáp B.

Câu 2: diện tích hình phẳng:$S = int_0^4 left $ $ = left| int_0^2 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ + left| int_2^4 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ = 40.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm: $frac – 3x – 1x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac – 13.$Diện tích hình phẳng $S = left| int_ – frac13^0 frac – 3x – 1x – 1dx ight|$ $ = left| int_ – frac13^0 left( – 3 – frac4x – 1 ight)dx ight|.$$ = left| left. ) ight ight|$ $ = left| – 1 + 4ln frac43 ight|$ $ = 4ln frac43 – 1.$Suy ra $a = 4$, $b = 3$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = a + b + c = 6.$Chọn lời giải B.

Câu 4: diện tích s hình phẳng:$S = int_1^e dx $ $ = int_1^e fracln xx^2dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = fracdxx^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxx\v = – frac1xendarray ight..$$S = – left. fracln xx ight|_1^e$ $ + int_1^e fracdxx^2 $ $ = – frac1e – left. frac1x ight|_1^e$ $ = 1 – frac2e$ $ Rightarrow a = 1$, $b = – 2$ $ Rightarrow T = log _2(14a – b) = 4.$Chọn giải đáp D.

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm: $1 – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Diện tích $S = int_ – 1^1 left = frac43$ $ Rightarrow a = 4$, $b = 3$ $ Rightarrow T = 2a + b = 11.$Chọn giải đáp B.

Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^3 + 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Diện tích hình phẳng là $S = left| int_0^a left( 3x^3 + 2x ight)dx ight|$ $ = left| left. left( frac3x^44 + x^2 ight) ight ight|$ $ = frac3a^44 + a^2.$$S = frac74$ $ Rightarrow frac3a^44 + a^2 = frac74$ $ Leftrightarrow a^2 = 1$ $ Rightarrow a = 1.$Chọn câu trả lời A.

Câu 7: diện tích s $S = int_ – 1^2 left $ $ = – int_ – 1^0 x e^xdx + int_0^2 x e^xdx.$Sử dụng bảng:

*

Suy ra $S = – left. left( xe^x – e^x ight) ight|_ – 1^0$ $ + left. left( xe^x – e^x ight) ight|_0^2$ $ = e^2 – frac2e + 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 2$ $ Rightarrow T = a + 2b = 2.$Chọn giải đáp C.

Câu 8: $S = int_ – 1^2 x^2 – 2x ight $ $ = int_ – 1^0 x^2 – 2x ight + int_0^2 x^2 – 2x ight .$$ = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$Chọn lời giải A.

Câu 9: $S = int_0^1 left = frac115$ $ Rightarrow a = 11$, $b = 5$$ Rightarrow S = 2a – b = 17.$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Ket Qua Olympic Bóng Đá Nam, Kq Bđ Nam Olympic 2020 Hôm Nay

Câu 10: Ta có:$S_2 = int_0^4 left( frac14x^2 ight)dx $ $ = left. fracx^312 ight|_0^4 = frac163.$$S_1 = S_OABC – S_2$ $ = 16 – frac163 = frac323$ $ Rightarrow fracS_1S_2 = 2.$Chọn câu trả lời C.