PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

     

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trong phương diện phảng Oxy cho hai điểm

*
(-c ; 0),
*
(c ; 0) với độdài không đổi 2a (a > c > 0).Elip (E) là tập hợp những điểm M sao cho
*
M
+
*
M
= 2a (h.3.4). Ta rất có thể viết:(E)= M .

2. Phương trình chủ yếu tắc của elip (E) là : 


3. Các thành phần của elip (E) là :

– nhì tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0);

– tư đỉnh :

*
(- a ; 0),
*
 
(a ; 0),
*
{0 ; -b),
*
(0 ; b);

– Độ dài trục béo :

*
*
= 2a ;

– Độ dài trục nhỏ dại

*
*
= 2b ;

– Tiêu cự :

*
*
= 2c (h.3.5).

Bạn đang xem: Phương trình chính tắc của elip

4. Làm nên của elip (E):

– (E) tất cả hai trục đối xứng là Ox, Oy và gồm tâm đối xứng là cội toạ độ ;

– hồ hết điểm của elip (E) ngoài bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích cỡ 2a cùng 2b số lượng giới hạn bởi những đường trực tiếp x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cửa hàng của elip.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình bao gồm tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ các thành phần đang biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm kiếm được phương trình chủ yếu tắc của elip.– Lập phương trình thiết yếu tắc của elip theo cách làm :– Ta có những hệ thức (h.3.6):• 0 •

*
=
*
 
*
 •
*
*
= 2c (tiêu cự)•
*
*
= 2a (độ dài trục lớn)•
*
*
= 2b (độ nhiều năm trục nhỏ)• M ∈ (E) ⇔
*
M +
*
M= 2a.

– Ta bao gồm toạ độ các điểm quan trọng đặc biệt của elip (E):• hai tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0);
• nhị đỉnh trên trục to :
*
(- a ; 0),
*
 (a ; 0),• hai đỉnh trên trục nhỏ tuổi :
*
(0 ; -b),
*
(0 ; b);

2. Những ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong những trường vừa lòng sau

a) Độ nhiều năm trục lớn bởi 10 và tiêu cự bằng 6 ;

b) Một tiêu điểm là vấn đề (-

*
; 0 ) cùng điểm ( 1;
*
) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta bao gồm 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3

*
*
 
*
= 25 – 9 = 16.Vì (E) tất cả một tiêu điểm
*
(-
*
; 0 ) nên c =
*
. Ta bao gồm :

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong những trường vừa lòng sau

a) Một đỉnh bên trên trục lớn là vấn đề (3 ; 0) cùng một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1;

*

GIẢI

a) Ta bao gồm a = 3 ; c = 2.Suy ra

*
*
 
*
= 9 – 4 = 5.Vậy phương trình bao gồm tắc của elip là :

b) Phương trình chủ yếu tắc của (E) có dạng :

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình thiết yếu tắc của elip đó

1. Phương pháp

– Trục khủng của (E) nằm trên Ox,

*
*
= 2a

– Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy, 

*
*
= 2b

– nhị tiêu điểm :

*
(- c ; 0),
*
(c ; 0) cùng với c =
*
– Tiêu cự :
*
M +
*
M
 = 2c ;

– tứ đỉnh : 

*
(- a ; 0),
*
 (a ; 0),
*
(0 ; -b),
*
(0 ; b);

– Tỉ số c / a 

– Phương trình những đường trực tiếp chứa những cạnh của hình chữ nhật đại lý làx = ±a ; y = ±b.

Thật vậy, ta có :

*
=
*
+
*

*
=
*
+
*

Suy ra

*
*
= 4cx (1) 

Theo khái niệm của elip ta tất cả :

*
M +
*
M
 = 2a (2) 

Chia (1) mang đến (2) ta được :

*
*
= 2(c/a)x (3) 

Từ (2) với (3) ta tính được

*
M và 
*
M
. 

2. Những ví dụ

Ví dụ 1. khẳng định độ dài những trục, toạ độ những tiêu điểm, toạ độ những đỉnh và vẽ elip (E) bao gồm phương trình

GIẢI

c =

*
= 4.

Vậy (E) tất cả :

– Trục lớn :

*
*
= 2a =10 ;

– Trục nhỏ dại :

*
*
= 2b = 6;

– hai tiêu điểm :

*
 (- 4 ; 0),
*
(4 ; 0 )

– tứ đỉnh :

*
(- 5 ; 0),
*
(5 ; 0), 
*
(0 ; – 3),
*
(0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. mang đến elip (E) tất cả phương trìnhHãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là

*
*
 trong đó
*
cùng
*
là nhị tiêu điểm của (E).

GIẢI

Ta tất cả

*
= 100,
*
= 36.

Suy ra

*
=
*
*
= 64 => c = 8.

Đường tròn đường kính

*
*
có tâm là gốc toạ độ cùng có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là :
*
+
*
= 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M cầm tay trên một elip

1. Phương pháp

Để minh chứng điểm M di động trên một elip ta tất cả hai cách (h.3.9): Cách 1 : chứng minh tổng khoảng cách từ M mang lại hai điểm cố định và thắt chặt

*
,
*
là 1 trong hằng số 2a (
*
*
lúc đó M cầm tay trên elip (E) bao gồm hai tiêu điểm
*
,
*
với trục khủng là 2a.Cách 2 : chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) tất cả toạ độ thoả nguyện phương trình

với a, b là nhị hằng số vừa ý 0

2. Các ví dụ

GIẢI

*
Ta bao gồm
*
= R + 
*
*
*
– R.
Suy ra 
*
*
*
*

Vậy M cầm tay trên elip có hai tiêu điểm là 

*
và 
*
và có trục lớn là 2a
*
*

Ví dụ 2. Trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy đến điểm M(x ; y) di động gồm tọa độ luôn luôn thỏa mãn

trong kia t là tham số thay đổi.

Hãy chứng tỏ điểm M di động cầm tay trên một elip.

GIẢI

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình thiết yếu tắc của elip (E) trong những trường hòa hợp sau :

a) Độ lâu năm trục nhỏ dại bằng 12 và tiêu cự bởi 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) với điểm (13 ; 0) nằm tại elip.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.29. kiếm tìm toạ độ những tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của từng elip bao gồm phương trình sau:

a) 4

*
+ 9
*
= 36 ;

b)

*
+ 4
*
= 4.

⇒ Xem đáp án tại đây.

Xem thêm: Ngày Tháng Năm Sinh Của Blackpink, Tiểu Sử Blackpink

3.30. mang đến đường tròn C (

*
; 2a) cố định và một điểm
*
nỗ lực đinh nằm trong (
*
). 
Xét đường tròn cầm tay (C) gồm tâm M. Cho thấy (C) luôn đi qua điểm
*
(C) luôn luôn tiếp xúc cùng với (
*
).
Hãy chứng minh M di động cầm tay trên một elip.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.31. Trong phương diện phẳng toạ độ Oxy mang lại điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn luôn thoả mãn

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. 

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.32. Viết phương trình bao gồm tắc của elip trong những trường hòa hợp sau :

a) Độ dài trac lớn bằng 26 cùng tỉ số c/a bởi 5/13 ;

b) Tiêu điểm

*
(-6 ; 0) cùng tỉ số c/a bằng 2/3.

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.33. Viết phương trình bao gồm tắc của elip (E) bao gồm hai tiêu điểm là

*
 và 
*
biết

và tam giác

*
vuông trên M.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.34. mang lại elip (E): 9

*
+ 25
*
= 225.

a) tìm toạ độ nhì tiêu điểm

*
,
*
 
và các đỉnh của (E).

b) search điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn

*
*
 dưới một góc vuông.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.35. 

a) Trục phệ bằng ba lần trục bé dại ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn nhì tiêu điểm bên dưới một góc vuông ;

c) khoảng cách giữa đỉnh bên trên trục bé dại và đỉnh bên trên trục lớn bởi tiêu cự.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.36.

Xem thêm: Cách Làm Bánh Mì Bằng Bột Mì Đa Dụng, 5 Cách Làm Bánh Mì Việt Nam Tại Nhà Siêu Đơn Giản

cho elip (E) : 4

*
+ 9
*
= 36 với điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d trải qua M và cắt (E) tại nhị điểm A cùng B làm thế nào để cho M là trung điểm của AB.